type stringlengths 1 45.9k | tactic stringlengths 3 8.85k | removals listlengths 0 38 | name stringlengths 1 85 | kind stringclasses 3 values | goal stringlengths 7 67.7k |
|---|---|---|---|---|---|
∀ (k : ChooseBasisIndex R L),
((C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤
1 | classical
rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map]
apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le
· apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le
intro k
apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le
· apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans
simp only [natDegree_X, le_rfl]
· simp only [natDegree_C, zero_le] | [] | hf₅ | goal | R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Free R L
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Free R M
x y : L
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ
hij : i + j = finrank R M
rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1
rw₁ :
((Polynomial.map
(↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) *
X +
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) :
MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])
((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff
i).natDegree ≤
j * 1
rw₂ rw₃ rw₄ :
(((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) *
X +
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) :
MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) :
MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X])
(((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤
j * 1
hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j
hf hf₁ hf₂ :
∀ (k : ChooseBasisIndex R L),
((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X +
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤
1
hf₃ :
∀ (k : ChooseBasisIndex R L),
((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) *
X).natDegree ≤
1
hf₄ :
∀ (k : ChooseBasisIndex R L),
((C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤
1
⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j |
(((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) *
X +
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) :
MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) :
MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X])
(((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤
j * 1 | rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] | [] | rw | goal | R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Free R L
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Free R M
x y : L
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ
hij : i + j = finrank R M
⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j |
(((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j | apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le | [] | hF | goal | R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Free R L
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Free R M
x y : L
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ
hij : i + j = finrank R M
⊢ (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) *
X +
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) :
MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) :
MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X])
(((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤
j * 1 |
∀ (i : ChooseBasisIndex R L),
((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X +
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)).natDegree ≤
1 | apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le | [] | hf | goal | R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Free R L
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Free R M
x y : L
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ
hij : i + j = finrank R M
hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j
⊢ (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) *
X +
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) :
MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) :
MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X])
(((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤
j * 1 |
((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) *
X).natDegree ≤
1 | apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le | [] | hf | goal | R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Free R L
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Free R M
x y : L
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ
hij : i + j = finrank R M
k : ChooseBasisIndex R L
⊢ ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X +
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤
1 |
((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤
1 | apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le | [] | hf₁ | goal | R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Free R L
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Free R M
x y : L
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ
hij : i + j = finrank R M
k : ChooseBasisIndex R L
hf :
((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) *
X).natDegree ≤
1
⊢ ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X +
(C : R → R[X])
((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤
1 |
X.natDegree ≤ 1 | apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans | [] | hf | goal | R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Free R L
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Free R M
x y : L
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ
hij : i + j = finrank R M
k : ChooseBasisIndex R L
⊢ ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) *
X).natDegree ≤
1 |
∀ (x : L) (hxU : x ∈ U), U ≤ (↑⟨engel K x, sorry⟩ : LieSubalgebra K L) → IsMin ⟨engel K x, sorry⟩ → IsBot ⟨engel K x, sorry⟩ | rcases E with ⟨_, x, hxU, rfl⟩ | [
"E",
"hUle",
"hmin"
] | mk | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
E : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2)
hUle : U ≤ (↑E : LieSubalgebra K L)
hmin : IsMin E
⊢ IsBot E |
let Ex := ⟨engel K x, sorry⟩;
U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L) → IsMin Ex → Ex ≤ ⟨engel K y, sorry⟩ | set Ex : {engel K x | x ∈ U} := ⟨engel K x, x, hxU, rfl⟩ | [
"hUle",
"hmin"
] | mk | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
hUle : U ≤ (↑⟨engel K x, sorry⟩ : LieSubalgebra K L)
hmin : IsMin ⟨engel K x, sorry⟩
y : L
hyU : y ∈ U
⊢ ⟨engel K x, sorry⟩ ≤ ⟨engel K y, sorry⟩ |
let Ey := ⟨engel K y, sorry⟩;
Ex ≤ Ey | set Ey : {engel K y | y ∈ U} := ⟨engel K y, y, hyU, rfl⟩ | [] | mk | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : IsMin Ex
⊢ Ex ≤ ⟨engel K y, sorry⟩ |
U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L) | replace hUle : U ≤ Ex := hUle | [
"hUle"
] | hUle₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : IsMin Ex
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
⊢ Ex ≤ Ey |
∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E | replace hmin : ∀ E, E ≤ Ex → Ex ≤ E := @hmin | [
"hmin"
] | hmin₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
hmin : IsMin Ex
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
⊢ Ex ≤ Ey |
x = 0 ∨ x ≠ 0 | obtain rfl | hx₀ := eq_or_ne x 0 | [
"x",
"hxU",
"Ex",
"hUle",
"hmin",
"E"
] | hxU | original | case mk.intro.intro.mk.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
⊢ Ex ≤ Ey |
r = finrank K L → Ex ≤ Ey | obtain hr|hr : r = finrank K L ∨ r < finrank K L := (Submodule.finrank_le _).eq_or_lt | [] | mk | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
⊢ Ex ≤ Ey |
r < finrank K L → Ex ≤ Ey | obtain hr|hr : r = finrank K L ∨ r < finrank K L := (Submodule.finrank_le _).eq_or_lt | [] | mk₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
mk : r = finrank K L → Ex ≤ Ey
⊢ Ex ≤ Ey |
engel K y ≤ engel K x | suffices engel K y ≤ engel K x from hmin Ey this | [] | mk | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r = finrank K L
⊢ Ex ≤ Ey |
engel K x = ⊤ | suffices engel K x = ⊤ by simp_rw [this, le_top] | [] | mk | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r = finrank K L
⊢ engel K y ≤ engel K x |
engel K y ≤ ⊤ | simp_rw [this, le_top] | [] | simp_rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r = finrank K L
this : engel K x = ⊤
⊢ engel K y ≤ engel K x |
(engel K x).toSubmodule = ⊤.toSubmodule | apply LieSubalgebra.toSubmodule_injective | [] | mk | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r = finrank K L
⊢ engel K x = ⊤ |
χ = X ^ r | suffices χ = X ^ r by
-- Indeed, by evaluating the coefficients at `1`
apply_fun (fun p ↦ p.map (evalRingHom 1)) at this
-- we find that the characteristic polynomial `χ 1` of `⁅y, _⁆` is equal to `X ^ r`
simp_rw [Polynomial.map_pow, map_X, χ, lieCharpoly_map_eval, one_smul, u, sub_add_cancel,
-- and therefore the endomorphism `⁅y, _⁆` acts nilpotently on `E`.
r, LinearMap.charpoly_eq_X_pow_iff,
Subtype.ext_iff, coe_toEnd_pow _ _ _ E, ZeroMemClass.coe_zero] at this
-- We ultimately want to show `engel K x ≤ engel K y`
intro z hz
-- which holds by definition of Engel subalgebra and the nilpotency that we just established.
rw [mem_engel_iff]
exact this ⟨z, hz⟩ | [] | mk | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
⊢ Ex ≤ Ey |
Polynomial.map (evalRingHom 1) χ = Polynomial.map (evalRingHom 1) (X ^ r) | apply_fun (fun p ↦ p.map (evalRingHom 1)) at this | [
"this"
] | this₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
this : χ = X ^ r
⊢ Ex ≤ Ey |
∀ (m : ↥E), ∃ n, ((toEnd K (↥U) L : ↥U → End K L) y' ^ n : L → L) (↑m : L) = 0 | simp_rw [Polynomial.map_pow, map_X, χ, lieCharpoly_map_eval, one_smul, u, sub_add_cancel,
-- and therefore the endomorphism `⁅y, _⁆` acts nilpotently on `E`.
r, LinearMap.charpoly_eq_X_pow_iff,
Subtype.ext_iff, coe_toEnd_pow _ _ _ E, ZeroMemClass.coe_zero] at this | [
"this"
] | this₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
this : Polynomial.map (evalRingHom 1) χ = Polynomial.map (evalRingHom 1) (X ^ r)
⊢ Ex ≤ Ey |
∃ n, ((ad K L : L → End K L) y ^ n : L → L) z = 0 | rw [mem_engel_iff] | [] | rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
this : ∀ (m : ↥E), ∃ n, ((toEnd K (↥U) L : ↥U → End K L) y' ^ n : L → L) (↑m : L) = 0
z : L
hz : z ∈ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
⊢ z ∈ (↑Ey : LieSubalgebra K L) |
∀ i < r, χ.coeff i = 0 | suffices ∀ i < r, χ.coeff i = 0 by
simp_rw [r, ← lieCharpoly_natDegree K E x' u] at this ⊢
rw [(lieCharpoly_monic K E x' u).eq_X_pow_iff_natDegree_le_natTrailingDegree]
exact le_natTrailingDegree (lieCharpoly_monic K E x' u).ne_zero this | [] | mk | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
⊢ χ = X ^ r |
(∀ i < (lieCharpoly K (↥E) x' u).natDegree, χ.coeff i = 0) → χ = X ^ (lieCharpoly K (↥E) x' u).natDegree | simp_rw [r, ← lieCharpoly_natDegree K E x' u] at this ⊢ | [
"this"
] | simp_rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
this : ∀ i < r, χ.coeff i = 0
⊢ χ = X ^ r |
(lieCharpoly K (↥E) x' u).natDegree ≤ (lieCharpoly K (↥E) x' u).natTrailingDegree | rw [(lieCharpoly_monic K E x' u).eq_X_pow_iff_natDegree_le_natTrailingDegree] | [] | rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
this : ∀ i < (lieCharpoly K (↥E) x' u).natDegree, χ.coeff i = 0
⊢ χ = X ^ (lieCharpoly K (↥E) x' u).natDegree |
0 < r → χ.coeff 0 = 0 | obtain rfl | hi0 := eq_or_ne i 0 | [
"i",
"hi"
] | mk | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
⊢ χ.coeff i = 0 |
i ≠ 0 → χ.coeff i = 0 | obtain rfl | hi0 := eq_or_ne i 0 | [] | mk₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
mk : 0 < r → χ.coeff 0 = 0
⊢ χ.coeff i = 0 |
∀ (r : K), eval r (χ.coeff 0) = 0 | apply eq_zero_of_forall_eval_zero_of_natDegree_lt_card _ _ ?deg | [] | apply | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
hi : 0 < r
⊢ χ.coeff 0 = 0 |
(↑(χ.coeff 0).natDegree : Cardinal.{u_1}) < #K | apply eq_zero_of_forall_eval_zero_of_natDegree_lt_card _ _ ?deg | [] | apply₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
apply : ∀ (r : K), eval r (χ.coeff 0) = 0
⊢ χ.coeff 0 = 0 |
(↑(χ.coeff 0).natDegree : Cardinal.{u_1}) < (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) | apply lt_of_lt_of_le _ hLK | [] | apply | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
hi : 0 < r
⊢ (↑(χ.coeff 0).natDegree : Cardinal.{u_1}) < #K |
(χ.coeff 0).natDegree < finrank K L | rw [Nat.cast_lt] | [] | rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
hi : 0 < r
⊢ (↑(χ.coeff 0).natDegree : Cardinal.{u_1}) < (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) |
(χ.coeff 0).natDegree ≤ r | apply lt_of_le_of_lt _ hr | [] | apply | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
hi : 0 < r
⊢ (χ.coeff 0).natDegree < finrank K L |
∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) m = 0 | rw [← coe_evalRingHom, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] | [] | rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
hi : 0 < r
α : K
⊢ eval α (χ.coeff 0) = 0 |
z = 0 → ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) m = 0 | obtain hz₀|hz₀ := eq_or_ne z 0 | [] | inl | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
hi : 0 < r
α : K
z : ↥U := sorry
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) m = 0 |
z ≠ 0 → ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) m = 0 | obtain hz₀|hz₀ := eq_or_ne z 0 | [] | inr | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
α : K
z : ↥U := α • u + x'
inl : z = 0 → ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) m = 0
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) m = 0 |
⟨x, sorry⟩ ≠ 0 | refine ⟨⟨x, self_mem_engel K x⟩, ?_, ?_⟩ | [] | inl | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
hi : 0 < r
α : K
z : ↥U := sorry
hz₀ : z = 0
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) m = 0 |
((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) ⟨x, sorry⟩ = 0 | refine ⟨⟨x, self_mem_engel K x⟩, ?_, ?_⟩ | [] | inl₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
α : K
z : ↥U := α • u + x'
hz₀ : z = 0
inl : ⟨x, sorry⟩ ≠ 0
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) m = 0 |
⟨(↑z : L), sorry⟩ ≠ 0 | refine ⟨⟨z, hUle z.2⟩, ?_, ?_⟩ | [] | inr | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
hi : 0 < r
α : K
z : ↥U := sorry
hz₀ : z ≠ 0
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) m = 0 |
((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) ⟨(↑z : L), sorry⟩ = 0 | refine ⟨⟨z, hUle z.2⟩, ?_, ?_⟩ | [] | inr₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
α : K
z : ↥U := α • u + x'
hz₀ : z ≠ 0
inr : ⟨(↑z : L), sorry⟩ ≠ 0
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) m = 0 |
⁅z, ⟨(↑z : L), sorry⟩⁆ = 0 | change ⁅z, _⁆ = (0 : E) | [] | inr | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
hi : 0 < r
α : K
z : ↥U := sorry
hz₀ : z ≠ 0
⊢ ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') : ↥E → ↥E) ⟨(↑z : L), sorry⟩ = 0 |
(↑⁅z, ⟨(↑z : L), sorry⟩⁆ : L) = (↑0 : L) | ext | [] | inr | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
hi : 0 < r
α : K
z : ↥U := sorry
hz₀ : z ≠ 0
⊢ ⁅z, ⟨(↑z : L), sorry⟩⁆ = 0 |
(constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0 | have hψ : constantCoeff ψ ≠ 0 := by
-- Suppose that `ψ` in fact has trivial constant coefficient.
intro H
-- Then there exists a `z ≠ 0` in `Q` such that `⁅x, z⁆ = 0`.
obtain ⟨z, hz0, hxz⟩ : ∃ z : Q, z ≠ 0 ∧ ⁅x', z⁆ = 0 := by
-- Indeed, if the constant coefficient of `ψ` is trivial,
-- then `0` is a root of the characteristic polynomial of `⁅0 • u + x, _⁆` acting on `Q`,
-- and hence we find an eigenvector `z` as desired.
apply_fun (evalRingHom 0) at H
rw [constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, map_zero, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at H
simpa only [coe_bracket_of_module, ne_eq, zero_smul, zero_add, toEnd_apply_apply]
using H
-- It suffices to show `z = 0` (in `Q`) to obtain a contradiction.
apply hz0
-- We replace `z : Q` by a representative in `L`.
obtain ⟨z, rfl⟩ := LieSubmodule.Quotient.surjective_mk' E z
-- The assumption `⁅x, z⁆ = 0` is equivalent to `⁅x, z⁆ ∈ E`.
have : ⁅x, z⁆ ∈ E := by rwa [← LieSubmodule.Quotient.mk_eq_zero']
-- From this we deduce that there exists an `n` such that `⁅x, _⁆ ^ n` vanishes on `⁅x, z⁆`.
-- On the other hand, our goal is to show `z = 0` in `Q`,
-- which is equivalent to showing that `⁅x, _⁆ ^ n` vanishes on `z`, for some `n`.
simp only [LieSubmodule.mem_mk_iff', LieSubalgebra.mem_toSubmodule, mem_engel_iff,
LieSubmodule.Quotient.mk'_apply, LieSubmodule.Quotient.mk_eq_zero', E, Q] at this ⊢
-- Hence we win.
obtain ⟨n, hn⟩ := this
use n + 1
rwa [pow_succ] | [] | hψ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
⊢ χ.coeff i = 0 |
∃ z, z ≠ 0 ∧ ⁅x', z⁆ = 0 | obtain ⟨z, hz0, hxz⟩ : ∃ z : Q, z ≠ 0 ∧ ⁅x', z⁆ = 0 := by
-- Indeed, if the constant coefficient of `ψ` is trivial,
-- then `0` is a root of the characteristic polynomial of `⁅0 • u + x, _⁆` acting on `Q`,
-- and hence we find an eigenvector `z` as desired.
apply_fun (evalRingHom 0) at H
rw [constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, map_zero, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at H
simpa only [coe_bracket_of_module, ne_eq, zero_smul, zero_add, toEnd_apply_apply]
using H | [] | z | original | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
⊢ False |
(evalRingHom 0 : K[X] → K) ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) = (evalRingHom 0 : K[X] → K) 0 | apply_fun (evalRingHom 0) at H | [
"H"
] | H₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
⊢ ∃ z, z ≠ 0 ∧ ⁅x', z⁆ = 0 |
∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (0 • u + x') : Q → Q) m = 0 | rw [constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, map_zero, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at H | [
"H"
] | H₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (evalRingHom 0 : K[X] → K) ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) = (evalRingHom 0 : K[X] → K) 0
⊢ ∃ z, z ≠ 0 ∧ ⁅x', z⁆ = 0 |
z = 0 | apply hz0 | [] | intro | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : Q
hz0 : z ≠ 0
hxz : ⁅x', z⁆ = 0
⊢ False |
∃ a, (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) a = z | obtain ⟨z, rfl⟩ := LieSubmodule.Quotient.surjective_mk' E z | [
"z",
"hz0",
"hxz"
] | z | original | case intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⋯
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⋯
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := ⋯
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := ⋯
r : ℕ := ⋯
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⋯
y' : ↥U := ⋯
u : ↥U := ⋯
χ : K[X][X] := ⋯
ψ : K[X][X] := ⋯
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : Q
hz0 : z ≠ 0
hxz : ⁅x', z⁆ = 0
⊢ z = 0 |
⁅x, z⁆ ∈ E | have : ⁅x, z⁆ ∈ E := by rwa [← LieSubmodule.Quotient.mk_eq_zero'] | [] | this | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
⊢ (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z = 0 |
LieSubmodule.Quotient.mk ⁅x, z⁆ = 0 | rwa [← LieSubmodule.Quotient.mk_eq_zero'] | [] | rwa | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ E |
LieSubmodule.Quotient.mk ⁅x, z⁆ = 0 | rwa [← LieSubmodule.Quotient.mk_eq_zero'] | [] | rwa₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
rwa : LieSubmodule.Quotient.mk ⁅x, z⁆ = 0
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ E |
LieSubmodule.Quotient.mk ⁅x, z⁆ = 0 | rwa [← LieSubmodule.Quotient.mk_eq_zero'] | [] | rwa₂ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
rwa rwa₁ : LieSubmodule.Quotient.mk ⁅x, z⁆ = 0
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ E |
LieSubmodule.Quotient.mk ⁅x, z⁆ = 0 | rwa [← LieSubmodule.Quotient.mk_eq_zero'] | [] | rwa₃ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
rwa rwa₁ rwa₂ : LieSubmodule.Quotient.mk ⁅x, z⁆ = 0
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ E |
(∃ n, ((ad K L : L → End K L) x ^ n : L → L) ⁅x, z⁆ = 0) → ∃ n, ((ad K L : L → End K L) x ^ n : L → L) z = 0 | simp only [LieSubmodule.mem_mk_iff', LieSubalgebra.mem_toSubmodule, mem_engel_iff,
LieSubmodule.Quotient.mk'_apply, LieSubmodule.Quotient.mk_eq_zero', E, Q] at this ⊢ | [
"this"
] | intro | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
this : ⁅x, z⁆ ∈ E
⊢ (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z = 0 |
∃ n, ((ad K L : L → End K L) x ^ n : L → L) ⁅x, z⁆ = 0 | obtain ⟨n, hn⟩ := this | [
"this"
] | n | original | case intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
this : ∃ n, ((ad K L : L → End K L) x ^ n : L → L) ⁅x, z⁆ = 0
⊢ ∃ n, ((ad K L : L → End K L) x ^ n : L → L) z = 0 |
((ad K L : L → End K L) x ^ (n + 1) : L → L) z = 0 | use n + 1 | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
n : ℕ
hn : ((ad K L : L → End K L) x ^ n : L → L) ⁅x, z⁆ = 0
⊢ ∃ n, ((ad K L : L → End K L) x ^ n : L → L) z = 0 |
((ad K L : L → End K L) x ^ n * (ad K L : L → End K L) x : L → L) z = 0 | rwa [pow_succ] | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
n : ℕ
hn : ((ad K L : L → End K L) x ^ n : L → L) ⁅x, z⁆ = 0
⊢ ((ad K L : L → End K L) x ^ (n + 1) : L → L) z = 0 |
((ad K L : L → End K L) x ^ n * (ad K L : L → End K L) x : L → L) z = 0 | rwa [pow_succ] | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
n : ℕ
hn : ((ad K L : L → End K L) x ^ n : L → L) ⁅x, z⁆ = 0
h : ((ad K L : L → End K L) x ^ n * (ad K L : L → End K L) x : L → L) z = 0
⊢ ((ad K L : L → End K L) x ^ (n + 1) : L → L) z = 0 |
((ad K L : L → End K L) x ^ n * (ad K L : L → End K L) x : L → L) z = 0 | rwa [pow_succ] | [] | h₂ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
n : ℕ
hn : ((ad K L : L → End K L) x ^ n : L → L) ⁅x, z⁆ = 0
h h₁ : ((ad K L : L → End K L) x ^ n * (ad K L : L → End K L) x : L → L) z = 0
⊢ ((ad K L : L → End K L) x ^ (n + 1) : L → L) z = 0 |
((ad K L : L → End K L) x ^ n * (ad K L : L → End K L) x : L → L) z = 0 | rwa [pow_succ] | [] | h₃ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ = 0
z : L
hz0 : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z ≠ 0
hxz : ⁅x', (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z⁆ = 0
n : ℕ
hn : ((ad K L : L → End K L) x ^ n : L → L) ⁅x, z⁆ = 0
h h₁ h₂ : ((ad K L : L → End K L) x ^ n * (ad K L : L → End K L) x : L → L) z = 0
⊢ ((ad K L : L → End K L) x ^ (n + 1) : L → L) z = 0 |
∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | obtain ⟨s, hs, hsψ⟩ : ∃ s : Finset K, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, (constantCoeff ψ).eval α ≠ 0 := by
classical
-- Let `t` denote the set of roots of `constantCoeff ψ`.
let t := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
-- We show that `t` has cardinality at most `finrank K L - r`.
have ht : t.card ≤ finrank K L - r := by
refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_
refine (card_roots' _).trans ?_
rw [constantCoeff_apply]
-- Indeed, `constantCoeff ψ` has degree at most `finrank K Q = finrank K L - r`.
apply lieCharpoly_coeff_natDegree
suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel]
apply Submodule.finrank_quotient_add_finrank
-- Hence there exists a subset of size `≥ r` in the complement of `t`,
-- and `constantCoeff ψ` takes non-zero values on all of this subset.
obtain ⟨s, hs⟩ := exists_finset_le_card K _ hLK
use s \ t
refine ⟨?_, ?_⟩
· refine le_trans ?_ (Finset.le_card_sdiff _ _)
omega
· intro α hα
simp only [Finset.mem_sdiff, Multiset.mem_toFinset, mem_roots', IsRoot.def, not_and, t] at hα
exact hα.2 hψ | [] | s | original | case mk.intro.intro.mk.intro.intro.inr.inr.inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
⊢ χ.coeff i = 0 |
∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | classical
-- Let `t` denote the set of roots of `constantCoeff ψ`.
let t := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
-- We show that `t` has cardinality at most `finrank K L - r`.
have ht : t.card ≤ finrank K L - r := by
refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_
refine (card_roots' _).trans ?_
rw [constantCoeff_apply]
-- Indeed, `constantCoeff ψ` has degree at most `finrank K Q = finrank K L - r`.
apply lieCharpoly_coeff_natDegree
suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel]
apply Submodule.finrank_quotient_add_finrank
-- Hence there exists a subset of size `≥ r` in the complement of `t`,
-- and `constantCoeff ψ` takes non-zero values on all of this subset.
obtain ⟨s, hs⟩ := exists_finset_le_card K _ hLK
use s \ t
refine ⟨?_, ?_⟩
· refine le_trans ?_ (Finset.le_card_sdiff _ _)
omega
· intro α hα
simp only [Finset.mem_sdiff, Multiset.mem_toFinset, mem_roots', IsRoot.def, not_and, t] at hα
exact hα.2 hψ | [] | Let | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | classical
-- Let `t` denote the set of roots of `constantCoeff ψ`.
let t := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
-- We show that `t` has cardinality at most `finrank K L - r`.
have ht : t.card ≤ finrank K L - r := by
refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_
refine (card_roots' _).trans ?_
rw [constantCoeff_apply]
-- Indeed, `constantCoeff ψ` has degree at most `finrank K Q = finrank K L - r`.
apply lieCharpoly_coeff_natDegree
suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel]
apply Submodule.finrank_quotient_add_finrank
-- Hence there exists a subset of size `≥ r` in the complement of `t`,
-- and `constantCoeff ψ` takes non-zero values on all of this subset.
obtain ⟨s, hs⟩ := exists_finset_le_card K _ hLK
use s \ t
refine ⟨?_, ?_⟩
· refine le_trans ?_ (Finset.le_card_sdiff _ _)
omega
· intro α hα
simp only [Finset.mem_sdiff, Multiset.mem_toFinset, mem_roots', IsRoot.def, not_and, t] at hα
exact hα.2 hψ | [] | Let₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
Let : ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | classical
-- Let `t` denote the set of roots of `constantCoeff ψ`.
let t := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
-- We show that `t` has cardinality at most `finrank K L - r`.
have ht : t.card ≤ finrank K L - r := by
refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_
refine (card_roots' _).trans ?_
rw [constantCoeff_apply]
-- Indeed, `constantCoeff ψ` has degree at most `finrank K Q = finrank K L - r`.
apply lieCharpoly_coeff_natDegree
suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel]
apply Submodule.finrank_quotient_add_finrank
-- Hence there exists a subset of size `≥ r` in the complement of `t`,
-- and `constantCoeff ψ` takes non-zero values on all of this subset.
obtain ⟨s, hs⟩ := exists_finset_le_card K _ hLK
use s \ t
refine ⟨?_, ?_⟩
· refine le_trans ?_ (Finset.le_card_sdiff _ _)
omega
· intro α hα
simp only [Finset.mem_sdiff, Multiset.mem_toFinset, mem_roots', IsRoot.def, not_and, t] at hα
exact hα.2 hψ | [] | Let₂ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
Let Let₁ : ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r → ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | classical
-- Let `t` denote the set of roots of `constantCoeff ψ`.
let t := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
-- We show that `t` has cardinality at most `finrank K L - r`.
have ht : t.card ≤ finrank K L - r := by
refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_
refine (card_roots' _).trans ?_
rw [constantCoeff_apply]
-- Indeed, `constantCoeff ψ` has degree at most `finrank K Q = finrank K L - r`.
apply lieCharpoly_coeff_natDegree
suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel]
apply Submodule.finrank_quotient_add_finrank
-- Hence there exists a subset of size `≥ r` in the complement of `t`,
-- and `constantCoeff ψ` takes non-zero values on all of this subset.
obtain ⟨s, hs⟩ := exists_finset_le_card K _ hLK
use s \ t
refine ⟨?_, ?_⟩
· refine le_trans ?_ (Finset.le_card_sdiff _ _)
omega
· intro α hα
simp only [Finset.mem_sdiff, Multiset.mem_toFinset, mem_roots', IsRoot.def, not_and, t] at hα
exact hα.2 hψ | [] | Let₃ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
Let Let₁ Let₂ : ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r →
∀ (s : Finset K), finrank K L ≤ s.card → ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | classical
-- Let `t` denote the set of roots of `constantCoeff ψ`.
let t := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
-- We show that `t` has cardinality at most `finrank K L - r`.
have ht : t.card ≤ finrank K L - r := by
refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_
refine (card_roots' _).trans ?_
rw [constantCoeff_apply]
-- Indeed, `constantCoeff ψ` has degree at most `finrank K Q = finrank K L - r`.
apply lieCharpoly_coeff_natDegree
suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel]
apply Submodule.finrank_quotient_add_finrank
-- Hence there exists a subset of size `≥ r` in the complement of `t`,
-- and `constantCoeff ψ` takes non-zero values on all of this subset.
obtain ⟨s, hs⟩ := exists_finset_le_card K _ hLK
use s \ t
refine ⟨?_, ?_⟩
· refine le_trans ?_ (Finset.le_card_sdiff _ _)
omega
· intro α hα
simp only [Finset.mem_sdiff, Multiset.mem_toFinset, mem_roots', IsRoot.def, not_and, t] at hα
exact hα.2 hψ | [] | intro | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
Let Let₁ Let₂ : ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
Let₃ :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r → ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r →
∀ (s : Finset K),
finrank K L ≤ s.card → r ≤ (s \ t).card ∧ ∀ α ∈ s \ t, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | classical
-- Let `t` denote the set of roots of `constantCoeff ψ`.
let t := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
-- We show that `t` has cardinality at most `finrank K L - r`.
have ht : t.card ≤ finrank K L - r := by
refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_
refine (card_roots' _).trans ?_
rw [constantCoeff_apply]
-- Indeed, `constantCoeff ψ` has degree at most `finrank K Q = finrank K L - r`.
apply lieCharpoly_coeff_natDegree
suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel]
apply Submodule.finrank_quotient_add_finrank
-- Hence there exists a subset of size `≥ r` in the complement of `t`,
-- and `constantCoeff ψ` takes non-zero values on all of this subset.
obtain ⟨s, hs⟩ := exists_finset_le_card K _ hLK
use s \ t
refine ⟨?_, ?_⟩
· refine le_trans ?_ (Finset.le_card_sdiff _ _)
omega
· intro α hα
simp only [Finset.mem_sdiff, Multiset.mem_toFinset, mem_roots', IsRoot.def, not_and, t] at hα
exact hα.2 hψ | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
Let Let₁ Let₂ : ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
Let₃ :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r → ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
intro :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r →
∀ (s : Finset K), finrank K L ≤ s.card → ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r → ∀ (s : Finset K), finrank K L ≤ s.card → r ≤ (s \ t).card | classical
-- Let `t` denote the set of roots of `constantCoeff ψ`.
let t := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
-- We show that `t` has cardinality at most `finrank K L - r`.
have ht : t.card ≤ finrank K L - r := by
refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_
refine (card_roots' _).trans ?_
rw [constantCoeff_apply]
-- Indeed, `constantCoeff ψ` has degree at most `finrank K Q = finrank K L - r`.
apply lieCharpoly_coeff_natDegree
suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel]
apply Submodule.finrank_quotient_add_finrank
-- Hence there exists a subset of size `≥ r` in the complement of `t`,
-- and `constantCoeff ψ` takes non-zero values on all of this subset.
obtain ⟨s, hs⟩ := exists_finset_le_card K _ hLK
use s \ t
refine ⟨?_, ?_⟩
· refine le_trans ?_ (Finset.le_card_sdiff _ _)
omega
· intro α hα
simp only [Finset.mem_sdiff, Multiset.mem_toFinset, mem_roots', IsRoot.def, not_and, t] at hα
exact hα.2 hψ | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
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hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
Let Let₁ Let₂ : ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
Let₃ :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r → ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
intro :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r →
∀ (s : Finset K), finrank K L ≤ s.card → ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
h :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r →
∀ (s : Finset K),
finrank K L ≤ s.card → r ≤ (s \ t).card ∧ ∀ α ∈ s \ t, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r →
∀ (s : Finset K), finrank K L ≤ s.card → ∀ α ∈ s \ t, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | classical
-- Let `t` denote the set of roots of `constantCoeff ψ`.
let t := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
-- We show that `t` has cardinality at most `finrank K L - r`.
have ht : t.card ≤ finrank K L - r := by
refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_
refine (card_roots' _).trans ?_
rw [constantCoeff_apply]
-- Indeed, `constantCoeff ψ` has degree at most `finrank K Q = finrank K L - r`.
apply lieCharpoly_coeff_natDegree
suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel]
apply Submodule.finrank_quotient_add_finrank
-- Hence there exists a subset of size `≥ r` in the complement of `t`,
-- and `constantCoeff ψ` takes non-zero values on all of this subset.
obtain ⟨s, hs⟩ := exists_finset_le_card K _ hLK
use s \ t
refine ⟨?_, ?_⟩
· refine le_trans ?_ (Finset.le_card_sdiff _ _)
omega
· intro α hα
simp only [Finset.mem_sdiff, Multiset.mem_toFinset, mem_roots', IsRoot.def, not_and, t] at hα
exact hα.2 hψ | [] | h₂ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
Let Let₁ Let₂ : ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
Let₃ :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r → ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
intro :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r →
∀ (s : Finset K), finrank K L ≤ s.card → ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
h :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r →
∀ (s : Finset K),
finrank K L ≤ s.card → r ≤ (s \ t).card ∧ ∀ α ∈ s \ t, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
h₁ :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r → ∀ (s : Finset K), finrank K L ≤ s.card → r ≤ (s \ t).card
⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r →
∀ (s : Finset K), finrank K L ≤ s.card → ∀ α ∈ s \ t, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | classical
-- Let `t` denote the set of roots of `constantCoeff ψ`.
let t := (constantCoeff ψ).roots.toFinset
-- We show that `t` has cardinality at most `finrank K L - r`.
have ht : t.card ≤ finrank K L - r := by
refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_
refine (card_roots' _).trans ?_
rw [constantCoeff_apply]
-- Indeed, `constantCoeff ψ` has degree at most `finrank K Q = finrank K L - r`.
apply lieCharpoly_coeff_natDegree
suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel]
apply Submodule.finrank_quotient_add_finrank
-- Hence there exists a subset of size `≥ r` in the complement of `t`,
-- and `constantCoeff ψ` takes non-zero values on all of this subset.
obtain ⟨s, hs⟩ := exists_finset_le_card K _ hLK
use s \ t
refine ⟨?_, ?_⟩
· refine le_trans ?_ (Finset.le_card_sdiff _ _)
omega
· intro α hα
simp only [Finset.mem_sdiff, Multiset.mem_toFinset, mem_roots', IsRoot.def, not_and, t] at hα
exact hα.2 hψ | [] | h₃ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
Let Let₁ Let₂ : ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
Let₃ :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r → ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
intro :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r →
∀ (s : Finset K), finrank K L ≤ s.card → ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
h :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
t.card ≤ finrank K L - r →
∀ (s : Finset K),
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h₁ :
let t := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset;
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h₂ :
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t.card ≤ finrank K L - r →
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⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
t.card ≤ finrank K L - r | have ht : t.card ≤ finrank K L - r := by
refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_
refine (card_roots' _).trans ?_
rw [constantCoeff_apply]
-- Indeed, `constantCoeff ψ` has degree at most `finrank K Q = finrank K L - r`.
apply lieCharpoly_coeff_natDegree
suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel]
apply Submodule.finrank_quotient_add_finrank | [] | ht | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := sorry
⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.card ≤ finrank K L - r | refine (Multiset.toFinset_card_le _).trans ?_ | [] | refine | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := sorry
⊢ t.card ≤ finrank K L - r |
((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).natDegree ≤ finrank K L - r | refine (card_roots' _).trans ?_ | [] | refine | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := sorry
⊢ ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.card ≤ finrank K L - r |
(ψ.coeff 0).natDegree ≤ finrank K L - r | rw [constantCoeff_apply] | [] | rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := sorry
⊢ ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).natDegree ≤ finrank K L - r |
0 + (finrank K L - r) = finrank K Q | apply lieCharpoly_coeff_natDegree | [] | hij | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := sorry
⊢ (ψ.coeff 0).natDegree ≤ finrank K L - r |
finrank K Q + r = finrank K L | suffices finrank K Q + r = finrank K L by rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel] | [] | hij | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := sorry
⊢ 0 + (finrank K L - r) = finrank K Q |
0 + (finrank K Q + r - r) = finrank K Q | rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel] | [] | rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := sorry
this : finrank K Q + r = finrank K L
⊢ 0 + (finrank K L - r) = finrank K Q |
finrank K Q + r - r = finrank K Q | rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel] | [] | rw₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset
this : finrank K Q + r = finrank K L
rw : 0 + (finrank K Q + r - r) = finrank K Q
⊢ 0 + (finrank K L - r) = finrank K Q |
finrank K Q = finrank K Q | rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel] | [] | rw₂ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset
this : finrank K Q + r = finrank K L
rw : 0 + (finrank K Q + r - r) = finrank K Q
rw₁ : finrank K Q + r - r = finrank K Q
⊢ 0 + (finrank K L - r) = finrank K Q |
finrank K Q = finrank K Q | rw [← this, zero_add, Nat.add_sub_cancel] | [] | rw₃ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset
this : finrank K Q + r = finrank K L
rw : 0 + (finrank K Q + r - r) = finrank K Q
rw₁ : finrank K Q + r - r = finrank K Q
rw₂ : finrank K Q = finrank K Q
⊢ 0 + (finrank K L - r) = finrank K Q |
∃ s, finrank K L ≤ s.card | obtain ⟨s, hs⟩ := exists_finset_le_card K _ hLK | [] | s | original | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset
ht : t.card ≤ finrank K L - r
⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
r ≤ (s \ t).card ∧ ∀ α ∈ s \ t, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | use s \ t | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := sorry
ht : t.card ≤ finrank K L - r
s : Finset K
hs : finrank K L ≤ s.card
⊢ ∃ s, r ≤ s.card ∧ ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
r ≤ (s \ t).card | refine ⟨?_, ?_⟩ | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := sorry
ht : t.card ≤ finrank K L - r
s : Finset K
hs : finrank K L ≤ s.card
⊢ r ≤ (s \ t).card ∧ ∀ α ∈ s \ t, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
∀ α ∈ s \ t, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | refine ⟨?_, ?_⟩ | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ).roots.toFinset
ht : t.card ≤ finrank K L - r
s : Finset K
hs : finrank K L ≤ s.card
h : r ≤ (s \ t).card
⊢ r ≤ (s \ t).card ∧ ∀ α ∈ s \ t, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
r ≤ s.card - t.card | refine le_trans ?_ (Finset.le_card_sdiff _ _) | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := sorry
ht : t.card ≤ finrank K L - r
s : Finset K
hs : finrank K L ≤ s.card
⊢ r ≤ (s \ t).card |
α ∈ s ∧ ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0 → ¬eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) = 0) | simp only [Finset.mem_sdiff, Multiset.mem_toFinset, mem_roots', IsRoot.def, not_and, t] at hα | [
"hα"
] | hα₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
t : Finset K := sorry
ht : t.card ≤ finrank K L - r
s : Finset K
hs : finrank K L ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s \ t
⊢ eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 |
∀ i_1 ∈ s, eval i_1 (χ.coeff i) = 0 | apply eq_zero_of_natDegree_lt_card_of_eval_eq_zero' _ s _ ?hcard | [] | apply | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
⊢ χ.coeff i = 0 |
(χ.coeff i).natDegree < s.card | apply eq_zero_of_natDegree_lt_card_of_eval_eq_zero' _ s _ ?hcard | [] | apply₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
apply : ∀ i_1 ∈ s, eval i_1 (χ.coeff i) = 0
⊢ χ.coeff i = 0 |
r - i < s.card | apply lt_of_le_of_lt (lieCharpoly_coeff_natDegree _ _ _ _ i (r - i) _) | [] | apply | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
⊢ (χ.coeff i).natDegree < s.card |
i + (r - i) = finrank K ↥E | apply lt_of_le_of_lt (lieCharpoly_coeff_natDegree _ _ _ _ i (r - i) _) | [] | apply₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
apply : r - i < s.card
⊢ (χ.coeff i).natDegree < s.card |
i + (finrank K ↥E - i) = finrank K ↥E | dsimp only [r] at hi ⊢ | [] | dsimp | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
⊢ i + (r - i) = finrank K ↥E |
finrank K ↥E = finrank K ↥E | rw [Nat.add_sub_cancel' hi.le] | [] | rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < finrank K ↥E
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
⊢ i + (finrank K ↥E - i) = finrank K ↥E |
finrank K ↥E = finrank K ↥E | rw [Nat.add_sub_cancel' hi.le] | [] | rw₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < finrank K ↥E
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
rw : finrank K ↥E = finrank K ↥E
⊢ i + (finrank K ↥E - i) = finrank K ↥E |
∀ (m : ↥E), ∃ n, ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') ^ n : ↥E → ↥E) m = 0 | rw [← coe_evalRingHom, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
(LinearMap.charpoly_eq_X_pow_iff _).mpr, coeff_X_pow, if_neg hi.ne] | [] | rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
⊢ eval α (χ.coeff i) = 0 |
engel K (↑v : L) ≤ engel K x | suffices engel K (v : L) ≤ engel K x by
-- Indeed, in that case the minimality assumption on `E` implies
-- that `E` is contained in the Engel subalgebra of `v`.
replace this : engel K x ≤ engel K (v : L) := (hmin ⟨_, v, v.2, rfl⟩ this).ge
intro z
-- And so we are done, by the definition of Engel subalgebra.
simpa only [mem_engel_iff, Subtype.ext_iff, coe_toEnd_pow _ _ _ E] using this z.2 | [] | suffices | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
⊢ ∀ (m : ↥E), ∃ n, ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') ^ n : ↥E → ↥E) m = 0 |
engel K x ≤ engel K (↑v : L) | replace this : engel K x ≤ engel K (v : L) := (hmin ⟨_, v, v.2, rfl⟩ this).ge | [
"this"
] | this₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
this : engel K (↑v : L) ≤ engel K x
⊢ ∀ (m : ↥E), ∃ n, ((toEnd K ↥U ↥E : ↥U → End K ↥E) (α • u + x') ^ n : ↥E → ↥E) m = 0 |
z ∈ E | change z ∈ E | [] | change | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
⊢ z ∈ engel K x |
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z = 0 | rw [← LieSubmodule.Quotient.mk_eq_zero] | [] | rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
⊢ z ∈ E |
let z' := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z;
z' = 0 | set z' : Q := LieSubmodule.Quotient.mk' E z | [] | set | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
⊢ (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z = 0 |
∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 | have hz' : ∃ n : ℕ, (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := by
rw [mem_engel_iff] at hz
obtain ⟨n, hn⟩ := hz
use n
apply_fun LieSubmodule.Quotient.mk' E at hn
rw [LieModuleHom.map_zero] at hn
rw [← hn]
clear hn
induction n with
| zero => simp only [z', pow_zero, Module.End.one_apply]
| succ n ih => rw [pow_succ', pow_succ', Module.End.mul_apply, ih]; rfl | [] | hz' | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
⊢ z' = 0 |
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