type stringlengths 1 45.9k | tactic stringlengths 3 8.85k | removals listlengths 0 38 | name stringlengths 1 85 | kind stringclasses 3 values | goal stringlengths 7 67.7k |
|---|---|---|---|---|---|
(∃ n, ((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z = 0) →
let z' := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z;
∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 | rw [mem_engel_iff] at hz | [
"hz",
"z'"
] | rw | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
⊢ ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 |
∃ n, ((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z = 0 | obtain ⟨n, hn⟩ := hz | [
"hz"
] | n | original | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : ∃ n, ((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z = 0
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
⊢ ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 | use n | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
z' : Q := sorry
n : ℕ
hn : ((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z = 0
⊢ ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 |
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z) =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) 0 | apply_fun LieSubmodule.Quotient.mk' E at hn | [
"hn"
] | hn₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
z' : Q := sorry
n : ℕ
hn : ((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z = 0
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 |
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z) = 0 | rw [LieModuleHom.map_zero] at hn | [
"hn"
] | hn₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
z' : Q := sorry
n : ℕ
hn :
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z) =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) 0
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z) | rw [← hn] | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
z' : Q := sorry
n : ℕ
hn : (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z) = 0
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ 0 : Q → Q) z' =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ 0 : L → L) z) | induction n with
| zero => simp only [z', pow_zero, Module.End.one_apply]
| succ n ih => rw [pow_succ', pow_succ', Module.End.mul_apply, ih]; rfl | [
"n"
] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
z' : Q := sorry
n : ℕ
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z) |
∀ (n : ℕ),
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z) →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ (n + 1) : Q → Q) z' =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ (n + 1) : L → L) z) | induction n with
| zero => simp only [z', pow_zero, Module.End.one_apply]
| succ n ih => rw [pow_succ', pow_succ', Module.End.mul_apply, ih]; rfl | [
"n"
] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
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hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
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hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
n : ℕ
h :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ 0 : Q → Q) z' =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ 0 : L → L) z)
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z) |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v : Q → Q)
((LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z)) =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E)
(((ad K L : L → End K L) (↑v : L) * (ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z) | rw [pow_succ', pow_succ', Module.End.mul_apply, ih] | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
z' : Q := sorry
n : ℕ
ih :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ n : L → L) z)
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ (n + 1) : Q → Q) z' =
(LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) (((ad K L : L → End K L) (↑v : L) ^ (n + 1) : L → L) z) |
z' = 0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | Now | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
⊢ z' = 0 |
z' = 0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | Now₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now : z' = 0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | Now₂ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → z' = 0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | Now₃ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
Now₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → n = 0 → z' = 0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | inl | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
Now₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0
Now₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → z' = 0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → ∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' = 0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | inr | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
Now₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0
Now₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → z' = 0
inl :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → n = 0 → z' = 0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → ∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' = 0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | inr₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
Now₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0
Now₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → z' = 0
inl :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → n = 0 → z' = 0
inr :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → ∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' = 0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 → z' = 0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
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have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [
"hsψ"
] | inr₂ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
Now₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0
Now₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → z' = 0
inl :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → n = 0 → z' = 0
inr inr₁ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → ∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' = 0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → (¬∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0) → z' = 0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
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have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [
"hsψ"
] | inr₃ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
Now₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0
Now₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → z' = 0
inl :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → n = 0 → z' = 0
inr inr₁ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → ∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' = 0
inr₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 → z' = 0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' ≠ 0 → ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [
"hsψ"
] | inr₄ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
Now₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0
Now₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → z' = 0
inl :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → n = 0 → z' = 0
inr inr₁ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → ∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' = 0
inr₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 → z' = 0
inr₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → (¬∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0) → z' = 0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ),
n = k + 1 →
z' ≠ 0 →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0 ∧
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q)
(((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [
"hsψ"
] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
Now₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0
Now₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → z' = 0
inl :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → n = 0 → z' = 0
inr inr₁ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → ∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' = 0
inr₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 → z' = 0
inr₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → (¬∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0) → z' = 0
inr₄ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' ≠ 0 → ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' ≠ 0 → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [
"hsψ"
] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
Now₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0
Now₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → z' = 0
inl :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → n = 0 → z' = 0
inr inr₁ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → ∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' = 0
inr₂ :
let n := Nat.find hz';
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((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 → z' = 0
inr₃ :
let n := Nat.find hz';
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((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
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inr₄ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' ≠ 0 → ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0
h :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ),
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z' ≠ 0 →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0 ∧
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q)
(((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ),
n = k + 1 →
z' ≠ 0 →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [
"hsψ"
] | h₂ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
Now₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0
Now₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → z' = 0
inl :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → n = 0 → z' = 0
inr inr₁ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → ∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' = 0
inr₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 → z' = 0
inr₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → (¬∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0) → z' = 0
inr₄ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' ≠ 0 → ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0
h :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ),
n = k + 1 →
z' ≠ 0 →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0 ∧
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q)
(((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
0
h₁ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' ≠ 0 → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0
⊢ z' = 0 |
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ),
n = k + 1 →
z' ≠ 0 →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
0 | classical
-- Now let `n` be the smallest power such that `⁅v, _⁆ ^ n` kills `z'`.
set n := Nat.find hz' with _hn
have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz'
-- If `n = 0`, then we are done.
obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp
· simpa only [hn₀, pow_zero, Module.End.one_apply] using hn
-- If `n = k + 1`, then we can write `⁅v, _⁆ ^ n = ⁅v, _⁆ ∘ ⁅v, _⁆ ^ k`.
-- Recall that `constantCoeff ψ` is non-zero on `α`, and `v = α • u + x`.
specialize hsψ α hα
-- Hence `⁅v, _⁆` acts injectively on `Q`.
rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ
-- We deduce from this that `z' = 0`, arguing by contraposition.
contrapose! hsψ
-- Indeed `⁅v, _⁆` kills `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'`.
use (toEnd K U Q v ^ k) z'
refine ⟨?_, ?_⟩
· -- And `⁅v, _⁆ ^ k` applied to `z'` is non-zero by definition of `n`.
apply Nat.find_min hz'; omega
· rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [
"hsψ"
] | h₃ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
Now Now₁ : z' = 0
Now₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → z' = 0
Now₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → z' = 0
inl :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → n = 0 → z' = 0
inr inr₁ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 → ∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' = 0
inr₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 → z' = 0
inr₃ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → (¬∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0) → z' = 0
inr₄ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' ≠ 0 → ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0
h :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ),
n = k + 1 →
z' ≠ 0 →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0 ∧
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q)
(((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
0
h₁ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' ≠ 0 → ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0
h₂ :
let n := Nat.find hz';
n = Nat.find hz' →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 →
∀ (k : ℕ),
n = k + 1 →
z' ≠ 0 →
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q)
(((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
0
⊢ z' = 0 |
n = Nat.find hz' | set n := Nat.find hz' with _hn | [] | _hn | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
⊢ z' = 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0 | have hn : (toEnd K U Q v ^ n) z' = 0 := Nat.find_spec hz' | [] | hn | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := sorry
_hn : n = Nat.find hz'
⊢ z' = 0 |
n = 0 → z' = 0 | obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp | [] | inl | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := sorry
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
⊢ z' = 0 |
∀ (k : ℕ), n = k + 1 → z' = 0 | obtain hn₀|⟨k, hk⟩ : n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 := by cases n <;> simp | [] | inr | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
inl : n = 0 → z' = 0
⊢ z' = 0 |
0 = 0 ∨ ∃ k, 0 = k + 1 | cases n | [] | zero | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := sorry
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
⊢ n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 |
∀ (n : ℕ), n + 1 = 0 ∨ ∃ k, n + 1 = k + 1 | cases n | [] | succ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
zero : 0 = 0 ∨ ∃ k, 0 = k + 1
⊢ n = 0 ∨ ∃ k, n = k + 1 |
eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0 | specialize hsψ α hα | [
"hsψ"
] | hsψ₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := sorry
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
⊢ z' = 0 |
¬∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0 | rw [← coe_evalRingHom, constantCoeff_apply, ← coeff_map, lieCharpoly_map_eval,
← constantCoeff_apply, ne_eq, LinearMap.charpoly_constantCoeff_eq_zero_iff] at hsψ | [
"hsψ"
] | hsψ₁ | hypothesis | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := sorry
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : eval α ((constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ) ≠ 0
⊢ z' = 0 |
z' ≠ 0 → ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0 | contrapose! hsψ | [
"hsψ"
] | inr | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := sorry
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : ¬∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0
⊢ z' = 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0 ∧
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') = 0 | use (toEnd K U Q v ^ k) z' | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := sorry
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : z' ≠ 0
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) m = 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0 | refine ⟨?_, ?_⟩ | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := sorry
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : z' ≠ 0
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0 ∧
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') = 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') = 0 | refine ⟨?_, ?_⟩ | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : z' ≠ 0
h : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0 ∧
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') = 0 |
k < Nat.find hz' | apply Nat.find_min hz' | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := sorry
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : z' ≠ 0
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' ≠ 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' | rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := sorry
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := sorry
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L := sorry
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := sorry
r : ℕ := sorry
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := sorry
y' : ↥U := sorry
u : ↥U := sorry
χ : K[X][X] := sorry
ψ : K[X][X] := sorry
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := sorry
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := sorry
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := sorry
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : z' ≠ 0
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') = 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ (k + 1) : Q → Q) z' | rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : z' ≠ 0
h :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z'
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') = 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v * (toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z' | rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | h₂ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : z' ≠ 0
h :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z'
h₁ :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ (k + 1) : Q → Q) z'
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') = 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') | rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | h₃ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : z' ≠ 0
h :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z'
h₁ :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ (k + 1) : Q → Q) z'
h₂ :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v * (toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z'
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') = 0 |
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') | rw [← hn, hk, pow_succ', Module.End.mul_apply] | [] | h₄ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : (↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} : Type u_2) := ⟨engel K x, sorry⟩
Ey : (↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} : Type u_2) := ⟨engel K y, sorry⟩
hUle : U ≤ (↑Ex : LieSubalgebra K L)
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
let __src := engel K x;
{ toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := sorry }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : (constantCoeff : K[X][X] → K[X]) ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K (↑v : L)
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E : L → L ⧸ E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : z' ≠ 0
h :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ n : Q → Q) z'
h₁ :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ (k + 1) : Q → Q) z'
h₂ :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v * (toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z'
h₃ :
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') =
((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z')
⊢ ((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) (α • u + x') : Q → Q) (((toEnd K (↥U) Q : ↥U → End K Q) v ^ k : Q → Q) z') = 0 |
∃ x, IsRegular K x | obtain ⟨x, hx⟩ := exists_isRegular_of_finrank_le_card K L h | [] | x | original | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
⊢ ∃ x, (engel K x).IsCartanSubalgebra |
(engel K x).IsCartanSubalgebra | use x | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
⊢ ∃ x, (engel K x).IsCartanSubalgebra |
LieRing.IsNilpotent ↥(engel K x) | refine ⟨?_, normalizer_engel _ _⟩ | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
⊢ (engel K x).IsCartanSubalgebra |
∀ x_1 ∈ engel K x, engel K x ≤ engel K x_1 | apply isNilpotent_of_forall_le_engel | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
⊢ LieRing.IsNilpotent ↥(engel K x) |
IsBot Ex | suffices IsBot Ex from @this ⟨engel K y, y, hy, rfl⟩ | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y : L
hy : y ∈ engel K x
Ex : (↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} : Type u_2) := sorry
⊢ engel K x ≤ engel K y |
IsMin Ex | apply engel_isBot_of_isMin h (engel K x) Ex le_rfl | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y : L
hy : y ∈ engel K x
Ex : (↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} : Type u_2) := sorry
⊢ IsBot Ex |
finrank K ↥(engel K x) ≤ finrank K ↥(engel K y) | suffices finrank K (engel K x) ≤ finrank K (engel K y) by
suffices engel K y = engel K x from this.ge
apply LieSubalgebra.toSubmodule_injective
exact Submodule.eq_of_le_of_finrank_le hyx this | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ engel K x
Ex : (↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} : Type u_2) := sorry
y : L
hy : y ∈ engel K x
hyx : ⟨engel K y, sorry⟩ ≤ Ex
⊢ Ex ≤ ⟨engel K y, sorry⟩ |
engel K y = engel K x | suffices engel K y = engel K x from this.ge | [] | suffices | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ engel K x
Ex : (↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} : Type u_2) := sorry
y : L
hy : y ∈ engel K x
hyx : ⟨engel K y, sorry⟩ ≤ Ex
this : finrank K ↥(engel K x) ≤ finrank K ↥(engel K y)
⊢ Ex ≤ ⟨engel K y, sorry⟩ |
(engel K y).toSubmodule = (engel K x).toSubmodule | apply LieSubalgebra.toSubmodule_injective | [] | a | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ engel K x
Ex : (↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} : Type u_2) := sorry
y : L
hy : y ∈ engel K x
hyx : ⟨engel K y, sorry⟩ ≤ Ex
this : finrank K ↥(engel K x) ≤ finrank K ↥(engel K y)
⊢ engel K y = engel K x |
rank K L ≤ finrank K ↥(engel K y) | rw [(isRegular_iff_finrank_engel_eq_rank K x).mp hx] | [] | h₁ | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : (↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ engel K x
Ex : (↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} : Type u_2) := sorry
y : L
hy : y ∈ engel K x
hyx : ⟨engel K y, sorry⟩ ≤ Ex
⊢ finrank K ↥(engel K x) ≤ finrank K ↥(engel K y) |
(↑(finrank K L) : Cardinal.{u_1}) ≤ #K | apply exists_isCartanSubalgebra_engel_of_finrank_le_card | [] | h | goal | K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra K L
inst✝¹ : Module.Finite K L
inst✝ : Infinite K
⊢ ∃ x, (engel K x).IsCartanSubalgebra |
∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ z, ∃ (hz : z ≫ K.d i (c.next i) = 0), π ≫ γ = K.liftCycles z (c.next i) sorry hz ≫ K.homologyπ i | subst hj | [
"j",
"hj"
] | subst | goal | C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
A : C
i : ι
γ : A ⟶ K.homology i
j : ι
hj : c.next i = j
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ z, ∃ (hz : z ≫ K.d i j = 0), π ≫ γ = K.liftCycles z j hj hz ≫ K.homologyπ i |
(degrees 0).toFinset = ∅ | classical rw [vars_def, degrees_zero, Multiset.toFinset_zero] | [] | classical | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
⊢ vars 0 = ∅ |
Multiset.toFinset 0 = ∅ | classical rw [vars_def, degrees_zero, Multiset.toFinset_zero] | [] | classical₁ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
classical : (degrees 0).toFinset = ∅
⊢ vars 0 = ∅ |
∅ = ∅ | classical rw [vars_def, degrees_zero, Multiset.toFinset_zero] | [] | classical₂ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
classical : (degrees 0).toFinset = ∅
classical₁ : Multiset.toFinset 0 = ∅
⊢ vars 0 = ∅ |
∅ = ∅ | classical rw [vars_def, degrees_zero, Multiset.toFinset_zero] | [] | classical₃ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
classical : (degrees 0).toFinset = ∅
classical₁ : Multiset.toFinset 0 = ∅
classical₂ : ∅ = ∅
⊢ vars 0 = ∅ |
(degrees 0).toFinset = ∅ | rw [vars_def, degrees_zero, Multiset.toFinset_zero] | [] | rw | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
⊢ vars 0 = ∅ |
Multiset.toFinset 0 = ∅ | rw [vars_def, degrees_zero, Multiset.toFinset_zero] | [] | rw₁ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
rw : (degrees 0).toFinset = ∅
⊢ vars 0 = ∅ |
∅ = ∅ | rw [vars_def, degrees_zero, Multiset.toFinset_zero] | [] | rw₂ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
rw : (degrees 0).toFinset = ∅
rw₁ : Multiset.toFinset 0 = ∅
⊢ vars 0 = ∅ |
∅ = ∅ | rw [vars_def, degrees_zero, Multiset.toFinset_zero] | [] | rw₃ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
rw : (degrees 0).toFinset = ∅
rw₁ : Multiset.toFinset 0 = ∅
rw₂ : ∅ = ∅
⊢ vars 0 = ∅ |
((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = s.support | classical rw [vars_def, degrees_monomial_eq _ _ h, Finsupp.toFinset_toMultiset] | [] | classical | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
h : r ≠ 0
⊢ ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).vars = s.support |
((toMultiset : (σ →₀ ℕ) → Multiset σ) s).toFinset = s.support | classical rw [vars_def, degrees_monomial_eq _ _ h, Finsupp.toFinset_toMultiset] | [] | classical₁ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
h : r ≠ 0
classical : ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = s.support
⊢ ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).vars = s.support |
s.support = s.support | classical rw [vars_def, degrees_monomial_eq _ _ h, Finsupp.toFinset_toMultiset] | [] | classical₂ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
h : r ≠ 0
classical : ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = s.support
classical₁ : ((toMultiset : (σ →₀ ℕ) → Multiset σ) s).toFinset = s.support
⊢ ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).vars = s.support |
s.support = s.support | classical rw [vars_def, degrees_monomial_eq _ _ h, Finsupp.toFinset_toMultiset] | [] | classical₃ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
h : r ≠ 0
classical : ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = s.support
classical₁ : ((toMultiset : (σ →₀ ℕ) → Multiset σ) s).toFinset = s.support
classical₂ : s.support = s.support
⊢ ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).vars = s.support |
((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = s.support | rw [vars_def, degrees_monomial_eq _ _ h, Finsupp.toFinset_toMultiset] | [] | rw | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
h : r ≠ 0
⊢ ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).vars = s.support |
((toMultiset : (σ →₀ ℕ) → Multiset σ) s).toFinset = s.support | rw [vars_def, degrees_monomial_eq _ _ h, Finsupp.toFinset_toMultiset] | [] | rw₁ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
h : r ≠ 0
rw : ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = s.support
⊢ ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).vars = s.support |
s.support = s.support | rw [vars_def, degrees_monomial_eq _ _ h, Finsupp.toFinset_toMultiset] | [] | rw₂ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
h : r ≠ 0
rw : ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = s.support
rw₁ : ((toMultiset : (σ →₀ ℕ) → Multiset σ) s).toFinset = s.support
⊢ ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).vars = s.support |
s.support = s.support | rw [vars_def, degrees_monomial_eq _ _ h, Finsupp.toFinset_toMultiset] | [] | rw₃ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
h : r ≠ 0
rw : ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = s.support
rw₁ : ((toMultiset : (σ →₀ ℕ) → Multiset σ) s).toFinset = s.support
rw₂ : s.support = s.support
⊢ ((monomial s : R → MvPolynomial σ R) r).vars = s.support |
((C : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = ∅ | classical rw [vars_def, degrees_C, Multiset.toFinset_zero] | [] | classical | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
inst✝ : CommSemiring R
⊢ ((C : R → MvPolynomial σ R) r).vars = ∅ |
Multiset.toFinset 0 = ∅ | classical rw [vars_def, degrees_C, Multiset.toFinset_zero] | [] | classical₁ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
inst✝ : CommSemiring R
classical : ((C : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = ∅
⊢ ((C : R → MvPolynomial σ R) r).vars = ∅ |
∅ = ∅ | classical rw [vars_def, degrees_C, Multiset.toFinset_zero] | [] | classical₂ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
inst✝ : CommSemiring R
classical : ((C : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = ∅
classical₁ : Multiset.toFinset 0 = ∅
⊢ ((C : R → MvPolynomial σ R) r).vars = ∅ |
∅ = ∅ | classical rw [vars_def, degrees_C, Multiset.toFinset_zero] | [] | classical₃ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
inst✝ : CommSemiring R
classical : ((C : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = ∅
classical₁ : Multiset.toFinset 0 = ∅
classical₂ : ∅ = ∅
⊢ ((C : R → MvPolynomial σ R) r).vars = ∅ |
((C : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = ∅ | rw [vars_def, degrees_C, Multiset.toFinset_zero] | [] | rw | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
inst✝ : CommSemiring R
⊢ ((C : R → MvPolynomial σ R) r).vars = ∅ |
Multiset.toFinset 0 = ∅ | rw [vars_def, degrees_C, Multiset.toFinset_zero] | [] | rw₁ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
inst✝ : CommSemiring R
rw : ((C : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = ∅
⊢ ((C : R → MvPolynomial σ R) r).vars = ∅ |
∅ = ∅ | rw [vars_def, degrees_C, Multiset.toFinset_zero] | [] | rw₂ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
inst✝ : CommSemiring R
rw : ((C : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = ∅
rw₁ : Multiset.toFinset 0 = ∅
⊢ ((C : R → MvPolynomial σ R) r).vars = ∅ |
∅ = ∅ | rw [vars_def, degrees_C, Multiset.toFinset_zero] | [] | rw₃ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
r : R
inst✝ : CommSemiring R
rw : ((C : R → MvPolynomial σ R) r).degrees.toFinset = ∅
rw₁ : Multiset.toFinset 0 = ∅
rw₂ : ∅ = ∅
⊢ ((C : R → MvPolynomial σ R) r).vars = ∅ |
((monomial (Finsupp.single n 1) : R → MvPolynomial σ R) 1).vars = {n} | rw [X, vars_monomial (one_ne_zero' R), Finsupp.support_single_ne_zero _ (one_ne_zero' ℕ)] | [] | rw | goal | R : Type u
σ : Type u_1
n : σ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (X n).vars = {n} |
(Finsupp.single n 1).support = {n} | rw [X, vars_monomial (one_ne_zero' R), Finsupp.support_single_ne_zero _ (one_ne_zero' ℕ)] | [] | rw₁ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
n : σ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
rw : ((monomial (Finsupp.single n 1) : R → MvPolynomial σ R) 1).vars = {n}
⊢ (X n).vars = {n} |
{n} = {n} | rw [X, vars_monomial (one_ne_zero' R), Finsupp.support_single_ne_zero _ (one_ne_zero' ℕ)] | [] | rw₂ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
n : σ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
rw : ((monomial (Finsupp.single n 1) : R → MvPolynomial σ R) 1).vars = {n}
rw₁ : (Finsupp.single n 1).support = {n}
⊢ (X n).vars = {n} |
{n} = {n} | rw [X, vars_monomial (one_ne_zero' R), Finsupp.support_single_ne_zero _ (one_ne_zero' ℕ)] | [] | rw₃ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
n : σ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
rw : ((monomial (Finsupp.single n 1) : R → MvPolynomial σ R) 1).vars = {n}
rw₁ : (Finsupp.single n 1).support = {n}
rw₂ : {n} = {n}
⊢ (X n).vars = {n} |
(x : σ → ℕ) v ≠ 0 → v ∈ f.vars | contrapose! h | [
"h"
] | contrapose! | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
H : x ∈ f.support
v : σ
h : v ∉ f.vars
⊢ (x : σ → ℕ) v = 0 |
x ∈ (p + q).degrees → x ∈ p.degrees ∨ x ∈ q.degrees | simp only [vars_def, Finset.mem_union, Multiset.mem_toFinset] at hx ⊢ | [
"hx"
] | simp | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
x : σ
hx : x ∈ (p + q).vars
⊢ x ∈ p.vars ∪ q.vars |
∀ x ∈ p.vars ∪ q.vars, x ∈ (p + q).vars | refine (vars_add_subset p q).antisymm fun x hx => ?_ | [] | refine | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Disjoint p.vars q.vars
⊢ (p + q).vars = p.vars ∪ q.vars |
Disjoint p.degrees q.degrees → x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset → x ∈ (p + q).degrees.toFinset | simp only [vars_def, Multiset.disjoint_toFinset] at h hx ⊢ | [
"h",
"hx"
] | simp | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Disjoint p.vars q.vars
x : σ
hx : x ∈ p.vars ∪ q.vars
⊢ x ∈ (p + q).vars |
x ∈ (p.degrees ∪ q.degrees).toFinset | rwa [degrees_add_of_disjoint h, Multiset.toFinset_union] | [] | rwa | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
x : σ
h : Disjoint p.degrees q.degrees
hx : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset
⊢ x ∈ (p + q).degrees.toFinset |
x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset | rwa [degrees_add_of_disjoint h, Multiset.toFinset_union] | [] | rwa₁ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
x : σ
h : Disjoint p.degrees q.degrees
hx : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset
rwa : x ∈ (p.degrees ∪ q.degrees).toFinset
⊢ x ∈ (p + q).degrees.toFinset |
x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset | rwa [degrees_add_of_disjoint h, Multiset.toFinset_union] | [] | rwa₂ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
x : σ
h : Disjoint p.degrees q.degrees
hx : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset
rwa : x ∈ (p.degrees ∪ q.degrees).toFinset
rwa₁ : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset
⊢ x ∈ (p + q).degrees.toFinset |
x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset | rwa [degrees_add_of_disjoint h, Multiset.toFinset_union] | [] | rwa₃ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
x : σ
h : Disjoint p.degrees q.degrees
hx : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset
rwa : x ∈ (p.degrees ∪ q.degrees).toFinset
rwa₁ rwa₂ : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset
⊢ x ∈ (p + q).degrees.toFinset |
x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset | rwa [degrees_add_of_disjoint h, Multiset.toFinset_union] | [] | rwa₄ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
x : σ
h : Disjoint p.degrees q.degrees
hx : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset
rwa : x ∈ (p.degrees ∪ q.degrees).toFinset
rwa₁ rwa₂ rwa₃ : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset
⊢ x ∈ (p + q).degrees.toFinset |
(φ * ψ).degrees ⊆ φ.degrees + ψ.degrees | simp_rw [vars_def, ← Multiset.toFinset_add, Multiset.toFinset_subset] | [] | simp_rw | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq σ
φ ψ : MvPolynomial σ R
⊢ (φ * ψ).vars ⊆ φ.vars ∪ ψ.vars |
(φ ^ 0).vars ⊆ φ.vars | classical
induction n with
| zero => simp
| succ n ih =>
rw [pow_succ']
apply Finset.Subset.trans (vars_mul _ _)
exact Finset.union_subset (Finset.Subset.refl _) ih | [
"n"
] | zero | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ (φ ^ n).vars ⊆ φ.vars |
∀ (n : ℕ), (φ ^ n).vars ⊆ φ.vars → (φ ^ (n + 1)).vars ⊆ φ.vars | classical
induction n with
| zero => simp
| succ n ih =>
rw [pow_succ']
apply Finset.Subset.trans (vars_mul _ _)
exact Finset.union_subset (Finset.Subset.refl _) ih | [
"n"
] | succ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
zero : (φ ^ 0).vars ⊆ φ.vars
⊢ (φ ^ n).vars ⊆ φ.vars |
(φ ^ 0).vars ⊆ φ.vars | induction n with
| zero => simp
| succ n ih =>
rw [pow_succ']
apply Finset.Subset.trans (vars_mul _ _)
exact Finset.union_subset (Finset.Subset.refl _) ih | [
"n"
] | zero | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ (φ ^ n).vars ⊆ φ.vars |
∀ (n : ℕ), (φ ^ n).vars ⊆ φ.vars → (φ ^ (n + 1)).vars ⊆ φ.vars | induction n with
| zero => simp
| succ n ih =>
rw [pow_succ']
apply Finset.Subset.trans (vars_mul _ _)
exact Finset.union_subset (Finset.Subset.refl _) ih | [
"n"
] | succ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
zero : (φ ^ 0).vars ⊆ φ.vars
⊢ (φ ^ n).vars ⊆ φ.vars |
(φ * φ ^ n).vars ⊆ φ.vars | rw [pow_succ'] | [] | succ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
ih : (φ ^ n).vars ⊆ φ.vars
⊢ (φ ^ (n + 1)).vars ⊆ φ.vars |
φ.vars ∪ (φ ^ n).vars ⊆ φ.vars | apply Finset.Subset.trans (vars_mul _ _) | [] | succ | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
ih : (φ ^ n).vars ⊆ φ.vars
⊢ (φ * φ ^ n).vars ⊆ φ.vars |
(∏ i ∈ ∅, f i).vars ⊆ ∅.biUnion fun i ↦ (f i).vars | classical
induction s using Finset.induction_on with
| empty => simp
| insert _ _ hs hsub =>
simp only [hs, Finset.biUnion_insert, Finset.prod_insert, not_false_iff]
apply Finset.Subset.trans (vars_mul _ _)
exact Finset.union_subset_union (Finset.Subset.refl _) hsub | [
"s"
] | empty | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq σ
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (∏ i ∈ s, f i).vars ⊆ s.biUnion fun i ↦ (f i).vars |
∀ (a : ι) (s : Finset ι),
a ∉ s →
((∏ i ∈ s, f i).vars ⊆ s.biUnion fun i ↦ (f i).vars) →
(∏ i ∈ insert a s, f i).vars ⊆ (insert a s).biUnion fun i ↦ (f i).vars | classical
induction s using Finset.induction_on with
| empty => simp
| insert _ _ hs hsub =>
simp only [hs, Finset.biUnion_insert, Finset.prod_insert, not_false_iff]
apply Finset.Subset.trans (vars_mul _ _)
exact Finset.union_subset_union (Finset.Subset.refl _) hsub | [
"s"
] | insert | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq σ
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
empty : (∏ i ∈ ∅, f i).vars ⊆ ∅.biUnion fun i ↦ (f i).vars
⊢ (∏ i ∈ s, f i).vars ⊆ s.biUnion fun i ↦ (f i).vars |
(∏ i ∈ ∅, f i).vars ⊆ ∅.biUnion fun i ↦ (f i).vars | induction s using Finset.induction_on with
| empty => simp
| insert _ _ hs hsub =>
simp only [hs, Finset.biUnion_insert, Finset.prod_insert, not_false_iff]
apply Finset.Subset.trans (vars_mul _ _)
exact Finset.union_subset_union (Finset.Subset.refl _) hsub | [
"s"
] | empty | goal | R : Type u
σ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq σ
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R
⊢ (∏ i ∈ s, f i).vars ⊆ s.biUnion fun i ↦ (f i).vars |
Subsets and Splits
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